آشنایی جزئی با هندسه کروی

تاکنون در هندسه از اصولی استفاده می کردیم که اقلیدس آن ها را درحدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح برای اولین بار در کتاب “اصول” خود جمع آوری کرده بود


آشنایی جزئی با هندسه کروی



تاکنون در هندسه از اصولی استفاده می کردیم که اقلیدس آن ها را درحدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح برای اولین بار در کتاب “اصول” خود جمع آوری کرده بود. از آن جائی که این اصول بدیهی به نظر می رسیدند، آن ها را بدون اثبات پذیرفت و سپس یر اساس این اصول قضایا را اثبات می کرد. لذا به این نوع هندسه، هندسه ی اقلیدسی گویند. پنج اصل مهم هندسه ی اقلیدسی عبارتند از:
۱- از هر دو نقطه ی مشخص فقط یک خط راست می گذرد.
۲- هر پاره خط رامی توان به میزان دلخواه امتداد داد.
۳- با هر نقطه و هر طولی می توان دایره ای به مرکز آن نقطه و به شعاع آن طو ل رسم کرد.
۴- همه ی زوایای قائمه با هم برابرند.
۵- از هر نقطه خارج یک خط فقط یک خط موازی با خط مذکور می توان رسم کرد.( این اصل که “اصل توازی” نام دارد، معادل با اصل پنجم اقلیدس است و در این جا به منظور درک بهتر، به جای اصل پنجم اقلیدس معادل آن ذکر شده است. برای مطالعه اصل پنجم به کتاب “هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسیتالیف گرینبرگ مراجعه کنید.)
در فضای اطرافمان که در آن زندگی می کنیم همه ی این اصول درست خواهد بود. اما آیا در هر سطحی با هر ویژگی، این اصول صادق خواهند بود؟
ریاضیدانان، سالیان درازی در طول تاریخ، تنها با هندسه ی اقلیدسی آشنا بودند تا این که در حدود ۲۰۰ سال پیش دریافتند، با تغییر کوچکی در اصول اقلیدس می توان انواع جدیدی از هندسه را معرفی کرد. همچنین ثابت کردند که هندسه های جدید، همانند هندسه ی اولیه (هندسه ی اقلیدسی) صحیح می باشند و با توجه به موقعیت و نوع فضا، باید از یکی از انواع هندسه استفاده کرد.
قابل توجه است که تلاش دانشمندان ایرانی از جمله خواجه نصیر الدین طوسی، به ایجاد این شاخه از هندسه کمک زیادی کرده است.
در این مباحث با یکی از هندسه های نا اقلیدسی، به نامهندسه ی کروی” آشنا می شوید. از جمله موضوع هائی که در ادامه مطرح خوهد شد می توانم عناوینی چون نوع خطوط، تقاطر، توازی، نوع زوایا و مثلث در هندسه ی کروی، را نام ببرم.
هندسه ی کروی - خطوط راست و تقاطر:
۱- خطوط راست
تاکنون با سطوح صاف و تخت سروکار داشته ایم و روی این سطوح خطوط راست رسم می کردیم. اما آیا روی سطح کروی هم، خطوط راست وجود دارند؟
به کره ی جغرافیائی دقت کنید؛
-
آیا می توانید خط راستی روی آن رسم کنید؟
-
تجسم کنید که روی سطح صافی به طور مستقیم راه می روید، مسیر شما چگونه است؟
حال فرض کنید روی سطح یک کره راه می روید، اگر مسیر خود را به طور مستقیم پیش گیرید، به کجا خواهید رسید؟ آیا به مکان اول خود باز نخواهید گشت؟
ویژگی های یک سطح کروی با ویژگی های یک سطح تخت تفاوت دارد.
همان طور که می دانیم برای تعیین فاصله ی بین دو نقطه از یک صفحه ی تخت، باید طول پاره خط واصل دو نقطه را که کمترین طول ممکن است، به دست آوریم. این پاره خط قسمتی از خطی است که آن را خط راست گویند.

حال کره ی جغرافیائی را در نظر بگیرید و روی آن قطب شمال را به قطب جنوب وصل کنید. توجه کنید به نحوی باید این دو نقطه را به هم وصل کنید که خط واصل کمترین طول را داشته باشد.

همان طور که می بینید به وسیله ی قسمتی از یک نصف النهار می توان این دو نقطه را به هم وصل کرد. در فضای کروی به هر یک از این نصف النهارها یک خط راست گویند. همچنین خط استوا یکی از خطوط راست می باشد. توجه کنید که این خطوط همگی یک ویژگی مشترک دارند. همگی دایره های عظیمه ی کره می باشند.( دایره های عظیمه بزرگترین دایره های روی سطح کروی اند که قطرشان برابر با قطر کره است)
بنابراین، در هندسه ی کروی؛

خطوط راست، دایره های عظیمه ی موجود بر سطح کروی اند، که قطری برابر با قطر کره دارند.

توجه کنید که روی سطح کروی، دایره های کوچکتر از دایره های عظیمه، خطوط منحنی هستند، زیرا نسبت به دایره های عظیمه(خطوط راست) انحنای بیشتری دارند.

بر سطح کروی، دو نقطه را متقاطر گویند هرگاه بتوان آن دو را به کمک یکی از قطرهای کره به هم وصل کرد. در غیر این صورت آن دو نقطه غیر متقاطر خواهند بود.
توجه کنید که از دو نقطه ی واقع بر قطب شمال و قطب جنوب، یکی از قطرهای کره می گذرد. لذا این دو نقطه متقاطرند. از طرفی می دانیم که از این دو نقطه می توان بی شمار دایره ی عظیمه (از جمله نصف النهارها) عبور داد.
حال دو نقطه از سطح کروی را در نظر بگیرید، به طوری که هر دو بر یک نیمکره واقع باشند. از این دو نقطه چند دایره ی عظیمه می گذرد؟ ۲- تقاطر

از هر دو نقطه ی غیر متقاطری که بر سطح کره واقع باشند، تنها یک دایره ی عظیمه(خط راست) می گذرد،اما ازهردو نقطه ی متقاطر بی شمار دایره ی عظیمه عبور می کند.

 

رضاشیرزاد ; ٧:۳۸ ‎ق.ظ ; جمعه ٧ آبان ۱۳۸٩