آشنایی جزئی با هندسه کروی

آشنایی جزئی با هندسهکروی



تاکنون درهندسه از اصولی استفاده می کردیم که اقلیدس آن ها را درحدود ۳۰۰ سال پیش از میلادمسیح برای اولین بار در کتاب “اصول” خود جمع آوری کرده بود. از آن جائی که این اصولبدیهی به نظر می رسیدند، آن ها را بدون اثبات پذیرفت و سپس یر اساس این اصول قضایارا اثبات می کرد. لذا به این نوع هندسه، هندسه ی اقلیدسی گویند. پنج اصل مهم هندسهی اقلیدسی عبارتند از:
۱- از هر دو نقطه ی مشخص فقط یک خطراست می گذرد.
۲- هر پاره خط رامی توان به میزان دلخواهامتداد داد.
۳- با هر نقطه و هر طولی می توان دایره ای بهمرکز آن نقطه و به شعاع آن طو ل رسم کرد.
۴- همه ی زوایایقائمه با هم برابرند.
۵- از هر نقطه خارج یک خط فقط یک خطموازی با خط مذکور می توان رسم کرد.( این اصل که “اصل توازی” نام دارد، معادل بااصل پنجم اقلیدس است و در این جا به منظور درک بهتر، به جای اصل پنجم اقلیدس معادلآن ذکر شده است. برای مطالعه اصل پنجم به کتاب “هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسیتالیف گرینبرگ مراجعه کنید.)
در فضای اطرافمان که در آنزندگی می کنیم همه ی این اصول درست خواهد بود. اما آیا در هر سطحی با هر ویژگی، ایناصول صادق خواهند بود؟
ریاضیدانان، سالیان درازی در طول تاریخ، تنها با هندسه یاقلیدسی آشنا بودند تا این که در حدود ۲۰۰ سال پیش دریافتند، با تغییر کوچکی دراصول اقلیدس می توان انواع جدیدی از هندسه را معرفی کرد. همچنین ثابت کردند کههندسه های جدید، همانند هندسه ی اولیه (هندسه ی اقلیدسی) صحیح می باشند و با توجهبه موقعیت و نوع فضا، باید از یکی از انواع هندسه استفاده کرد.
قابل توجه است کهتلاش دانشمندان ایرانی از جمله خواجه نصیر الدین طوسی، به ایجاد این شاخه از هندسهکمک زیادی کرده است.
در این مباحث با یکی از هندسه های نا اقلیدسی، به نامهندسه ی کروی” آشنا می شوید. از جمله موضوع هائی که در ادامه مطرح خوهد شد میتوانم عناوینی چون نوع خطوط، تقاطر، توازی، نوع زوایا و مثلث در هندسه ی کروی، رانام ببرم.
هندسه ی کروی - خطوط راست وتقاطر:
۱- خطوط راست
تاکنون با سطوح صاف و تخت سروکارداشته ایم و روی این سطوح خطوط راست رسم می کردیم. اما آیا روی سطح کروی هم، خطوطراست وجود دارند؟
به کره ی جغرافیائی دقت کنید؛
-
آیا می توانید خط راستی رویآن رسم کنید؟
-
تجسم کنید که روی سطح صافی به طور مستقیم راه می روید، مسیر شماچگونه است؟
حال فرض کنید روی سطح یک کره راه می روید، اگر مسیر خود را به طورمستقیم پیش گیرید، به کجا خواهید رسید؟ آیا به مکان اول خود باز نخواهید گشت؟
ویژگی های یک سطح کروی با ویژگی های یک سطح تخت تفاوتدارد.
همان طور که می دانیم برای تعیین فاصله ی بین دو نقطه از یک صفحه ی تخت،باید طول پاره خط واصل دو نقطه را که کمترین طول ممکن است، به دست آوریم. این پارهخط قسمتی از خطی است که آن را خط راست گویند.

حال کره ی جغرافیائی را در نظر بگیرید و روی آن قطبشمال را به قطب جنوب وصل کنید. توجه کنید به نحوی باید این دو نقطه را به هم وصلکنید که خط واصل کمترین طول را داشته باشد.

همان طور که می بینید به وسیله ی قسمتی از یک نصفالنهار می توان این دو نقطه را به هم وصل کرد. در فضای کروی به هر یک از این نصفالنهارها یک خط راست گویند. همچنین خط استوا یکی از خطوط راست می باشد. توجه کنیدکه این خطوط همگی یک ویژگی مشترک دارند. همگی دایره های عظیمه ی کره می باشند.( دایره های عظیمه بزرگترین دایره های روی سطح کروی اند که قطرشان برابر با قطر کره

/ 0 نظر / 119 بازدید